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Angúlos en posición normal

Objetivos de la lección:

Determinar ángulos en su posición normal.
Conocer las funciones trigonométricas de un triangulo eectángulo
Utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar las funciones trigonométricas.

Contenidos de la lección

Relaciones trigonométricas.
1.1 Angúlo en posición normal.
1.2 Angúlo relacionado.
1.3 El teorema de Pitágoras.
1.4 Definiciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
1.5 Signos de la funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
1.6 Valores de las funciones trigonométricas cuando se conoce una de ellas.

Desarrollo:

Relaciones trigonométricas.

1.1 Ángulos en posición normal

Un Angulo está en posición normal cuando su vértice coincide con el origen su lado inicial con el semejante positivo de las x y su lado terminal se encuentra en cualquiera de los cuadrantes del plano cartesiano.

Las figuras a continuación nos muestran cuatro ángulos en posición normal con sus correspondientes relacionados en los diferentes cuadrantes:

1.2 Ángulos relacionados

Los ángulos relacionados se forman con el lado terminal del angúlo en posición normal y el eje de las x. En el cuadrante de abajo se establecen las formas

para calcular estos ángulos en los diferentes cuadrantes.

Cuadrante	Relacionado
I	ɵ
II	180º-ɵ
III	ɵ-180º
IV	360º-ɵ

Ejemplo:

Determine el Ángulo relacionado para los siguientes ángulos en posición normal.

Solución:

Como el ángulo esta en el primer cuadrante, entonces, el ángulo relacionado es igual a ɵ.

ɵ= 217° está situado en el tercer cuadrante entonces, el ángulo relacionado a= ɵ - 180° = 217° - 180°

a= 37°

ɵ=345° está situado en el cuarto cuadrante, entonces, el ángulo relacionado a= 360° - ɵ = 360° - 345°

a=15°

1.3 El teorema de Pitágoras:

El teorema dice que: el cuadro de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La fórmula matemática es:

r² = x² + y²; despejando cada variable tenemos:

Para r:

Para x:

Para y:

Ejemplo 1:

Encuentre el elemento faltante si:

X=3 , y= 4 , r=?

Solución:

Sustituyendo los valores de: x =3, y =4, en la fórmula:

, nos queda, , luego, r=5

1.3 Definición de las funciones trigonométricas de un Angulo en posición normal

Si es un Angulo en posición normal y P(X, Y) un punto cualquiera distinto del origen, perteneciente al lado terminar el ángulo, las seis funciones trigonométricas de ɵ se definen en términos de la abscisa, ordenada y la distancia (r) de P al origen, así:

1.4.Signos de la funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes

Los signos de las funciones trigonométricas se relaciona a los signos de las coordenadas de un punto.

En el cuadro se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

1.5 Valores de las funciones trigonométricas cuando se conoce una de ellas

Conocidos el cuadrante donde se localiza el ángulo y el valor de unas de sus funciones trigonométricas se puede calcular el valor del resto de ellas haciendo uso de las definiciones.

Si el cuadrante no se indica entonces procede mos a contemplar aquellos para los cuadrantes se cumplen el signo de las funciones dada.

Ejemplo:

Calcule el resto de las funciones trigonométricas si: Tang ɵ =-⅗ y el ángulo ɵ se localiza en el segundo cuadrante.
Constituya el ángulo en posición normal y encuentre los valores de las funciones trigonométricas si: Sen ɵ = - ⅘ encontrar el ángulo ɵ que está situado en el cuarto cuadrante.

Solución:

1. Con el ángulo esta situado en el segundo cuadrante, el

Valor de la tangente es: tang =